название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
(1)
(1) где n - целое положительное число, а и b - какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3; при n = 4 получают (а + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a
n-kb
k обозначается так:
или
Cnk. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См.
Комбинаторика):
Cnkесть число сочетаний из
n различных между собой элементов, взятых по
k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2
n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)
n равна определённому коэффициенту в разложении
(а + b) n+1; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а +
b)
3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для
(а + b)4. Вообще:
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а +
b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого
n. Выкладки располагают в виде таблицы (см.
Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И.
Ньютона (См.
Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См.
Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при
an-kbk служит выражение
, которое, в случае целого положительного
п, обращается в нуль при всяком
k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного
n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |
b| < |
а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а
+ b)
n (см.
Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).